Matematica - factoreo de polinomio - operaciones con polinomios

Regla de Ruffini

Cuando el divisor es un polinomio de la forma x - a, siendo a un número real, se simplifica el proceso utilizando la regla de Ruffini.
Primero escribimos en una fila los coeficientes del dividendo completo y ordenado, según las potencias decrecientes de la variable.
Luego se traza una cruz como indica la figura, y en el ángulo izquierdo se escribe el opuesto del término independiente del divisor:

Los restantes coeficientes del cociente se obtienen multiplicando el resultado anterior obtenido por el número que figura en el ángulo izquierdo (que actúa como “pivote”) y se lo coloca en la segunda fila en la columna correspondiente. Luego se suma este producto al correspondiente coeficiente de la primera fila (ubicado en la misma columna). El último número así obtenido es el resto.

Como se puede observar, como en estos casos el divisor es de grado uno, el grado del cociente es una unidad menor que el grado del dividendo. El grado del resto, es cero, por tratarse de una constante.

División de Polinomios

Dado un polinomio P(x) (polinomio dividendo) y otro D(x) distinto de "0" (polinomio divisor), siempre
existen y son únicos otros dos polinomios
C(x) (polinomio cociente) y R(x) (polinomio resto) tal que:
P(x) = D(x) . C(x) + R(x) donde: grado R(x) < grado D(x) ó R(x) = 0

Para dividir polinomios debemos completar el dividendo y ordenar dividendo y divisor según
las potencias decrecientes de la variable. Para completar un polinomio se deben agregar los
términos que faltan con coeficientes “cero”.

Producto de Polinomios

Cuando se multiplican dos polinomios, el resultado es otro polinomio cuyo grado es igual a la suma de los grados de los polinomios factores y cuyos términos se obtienen de aplicar la propiedad distributiva entre los términos de P(x) y Q(x).
Simbólicamente:

Igual que para la suma, el producto de polinomios verifica las propiedades:

Asociativa: [P(x) . Q(x)] . R(x) = P(x) . [Q(x) . R(x)]
Conmutativa: P(x) . Q(x) = Q(x) . P(x)
Existe elemento neutro: P(x) = 1
No existe polinomio inverso: Es decir, dado un polinomio cualquiera no existe otro que multiplicado por aquél dé 1.

Por último, se verifica la propiedad distributiva del producto respecto de la suma:

Suma y resta de Polinomios

La suma o resta de dos polinomios da como resultado un nuevo polinomio obtenido de sumar o restar los términos semejantes (de igual grado). Se verifica por lo tanto la ley de cierre de la suma en el conjunto.
Al sumar términos semejantes, en realidad sumamos los coeficientes con su signo, por lo cual, la suma de polinomios es, en definitiva, suma de números reales. Esta operación, así definida, verifica las propiedades:

Asociativa: [P(x) + Q(x)] + R(x) = P(x) + [Q(x) + R(x)]
Conmutativa: P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x)
Existe elemento neutro: polinomio nulo
Cada polinomio tiene su opuesto